[선형대수학] 가우스 조던 소거법, 연립일차방정식의 행렬 표현

연립 일차방정식의 행렬 표현

 

$\begin{cases} x + y =3 \\ 2x + 3y = 8 \end{cases}$

 

첨가행렬(Augmented matrix)

 

$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 8 \end{pmatrix} $

 

$\Rightarrow$ 가우스 조던 소거법 사용

 

계수행렬(Coefficient matrix), 상수행렬(Constant matrix)

 

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 8 \end{pmatrix} $

 

$\Rightarrow$ 역행렬 이용

 

가우스 조던 소거법(Gauss Jordan Elimination)

 

다음 세 가지의 기본 행 연산을 통해 연립일차방정식의 첨가행렬을 기약 행사다리꼴로 변환하여 해를 구한다.

 

(1) 한 행을 상수배한다.

(2) 한 행을 상수배하여 다른 행에 더한다.

(3) 두 행을 맞바꾼다.

 

$ \begin{eqnarray} \begin{cases} x + y = 3 \\ 2x+3y =8 \end{cases} & \rightarrow  & \begin{pmatrix}  1 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 8 \end{pmatrix}  \xrightarrow{R_{2} - R_{1}} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_{1} - R_{2}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray} \Rightarrow \begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases} $

 

행사다리꼴 행렬(Row echelon form)

 

1. 0행이 아닌 행의 처음으로 0이 아닌 숫자가 1이다. 이를 선행 1이라고 한다.

2. 0행이 존재할 경우, 이 0행들은 모두 아래쪽에 위치해 있다.

3. 0행이 아닌 행들의 선행 1은 아래 있는 행보다 위에 있는 행이 더 왼쪽에 있다.

 

$\begin{pmatrix} 1 & 4& 5 & 2 \\ 0 & 1 & 12 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $

 

기약 행사다리꼴 행렬(Reduced row echelon form)

 

행 사다리꼴 행렬의 조건을 포함하고, 선행 1이 속한 열의 나머지 성분은 모두 0이다.

 

$  \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0& 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $

 

역행렬(Inverse matrix)의 이용

 

연립일차방정식 $AX = B$ 에서 $A$의 역행렬 $A^{-1}$가 존재하면, $X = A^{-1}B$이다.

 

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 8 \end{pmatrix}  \Leftrightarrow \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} ^{-1} \begin{pmatrix} 3 \\ 8 \end{pmatrix} $