[선형대수학] 행렬식(Determinant)

행렬식(Determinant)

정방 행렬을 스칼라 값에 대응시키는 특별한 함수

 

$\mathrm{det}\,A = \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} $

 

$0 \times 0 $ 행렬의 행렬식 $ \Rightarrow \mathrm{det} (\;) = 0 $

$1 \times 1 $ 행렬의 행렬식 $ \Rightarrow \mathrm{det} \begin{pmatrix} a \end{pmatrix} = a $

$2 \times 2 $ 행렬의 행렬식 $ \Rightarrow \mathrm{det} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} $

$3 \times 3 $ 행렬의 행렬식

$ \Rightarrow \mathrm{det} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} $

$ \Rightarrow a_{11} M_{11} - a_{12}M_{12} + a_{13}M_{13} $      ($M_{ij}$ : 원래 행렬에서 $i$ 행과 $j$ 열을 제외한 행렬)

$ \Rightarrow a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}+  a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} $ 

 

꼭 위의 식처럼 $a_{11},\, a_{12},\, a_{13}$ (1행)으로 행렬식을 작성하지 않고, 다른 행 혹은 열로 행렬식을 작성해줘도 무방하다. (0이 많이 포함되어있는 행이나 열로 행렬식을 만들어주는 것이 좋다.)

 

$4 \times 4 $행렬의 행렬식

$\mathrm{det}\; A \Rightarrow a_{11}M_{11} - a_{12}M_{12} + a_{13}M_{13} - a_{14}M_{14} $

 

여인수(Cofactor : $A_{ij}$), 여인수행렬(Cofactor matrix : $[A_{ij}]$), 수반행렬(Adjoint of matrix)

 

여인수(Cofactor), 여인수행렬(Cofactor matrix)

 

$n$차 정방행렬 $ A = [a_{ij}]$에서 원소 $a_{ij}$에 계수(여인수)와 그 계수의 행렬(여인수 행렬)

 

$$A_{ij} = (-1)^{i+j}\mathrm{det}(M_{ij}) $$

 

수반행렬(Adjoint of matrix)

 

 여인수행렬의 전치행렬이다.  $ [A_{ij}]^{T} = \mathrm{adj}\;A$

 

역행렬(Inverse matrix)

 

가역행렬(Invertible matrix)

 

$n$차 정방 행렬 $A$와 단위 행렬 $I_{n}$에 대하여

 

$$AB = I_{n} = BA$$

 

를 만족하는 $n$차 정방행렬 $B$가 존재할 때 $A$를 가역행렬이라고 한다.

 

행렬식이 0이 아닌 행렬, 역행렬이 존재하는 행렬.

 

특이행렬(Singular matrix)

 

행렬식이 0인 행렬, 역행렬이 존재하지 않는 행렬.

 

역행렬 구하기

 

$$A^{-1} = \frac{1}{\mathrm{det} \; A} \mathrm{adj}\; A$$

 

 크라메르 공식(Carmer's rule) 

연립일차방정식 $AX = B $ 에서, $A$가 가역행렬일 때,

 

$$ x_{j} = \frac{\mathrm{det} A_{j}}{\mathrm{det} A} $$

 

단, $j = 1, \cdots,n$이고 $A_{j}$는 $A$의 $j$번째 열을 $B$의 원소로 바꾼 행렬이다. (하나의 미지수만 알고 싶을 때, 사용하면 좋다.)