[선형대수학] 스칼라 곱 - 제 2코사인 법칙 증명, 성질

스칼라 곱(Scalar product)

유클리드 공간에서 두 벡터로부터 스칼라 값을 얻는 연산이다.

내적(inner product) 또는 점곱(dot product)로도 부른다.

 

$$ \begin{eqnarray} v \cdot w & = & \Vert v \Vert  \Vert w \Vert  \cos \theta \; \cdots \; (a) \\  & = & v_1 w_1 + v_2  w_2 + \cdots + v_n w_n \;\cdots\; (b)\end{eqnarray} $$ ($\theta$ 는 두 벡터 $ v,\, w$가 이루는 각)

 

식 $a$와 식 $b$가 같다는 것은 제 2코사인 법칙으로 증명 가능하다.

 

제 2 코사인 법칙으로 스칼라 곱 증명

 

$ w = v + x $

$ \therefore  x = w - v $

 

$\begin{eqnarray} \Vert x \Vert ^2 &=& \Vert v \Vert ^2 + \Vert w \Vert ^2  - 2 \Vert v \Vert \Vert w \Vert \cos \theta  \end{eqnarray} $

$\begin{eqnarray} v \cdot w & = &  \frac{1}{2} \{ \Vert v \Vert ^2 + \Vert w \Vert ^2 - \Vert w - v \Vert ^ 2 \} \quad (\because \Vert v \Vert \Vert w \Vert cos \theta \, = \, v \cdot w , \; x = w - v) \\ & = & \frac{1}{2} \{ (v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2) + (w_1^2 + w_2^2 + \cdots + w_n^2)  - (w_1 - v_1)^2 - (w_2 - v_2)^2 - \cdots - (w_n - v_n)^2 \} \\ & = & \frac{1}{2} (2w_1 v_1 + 2 w_2 v_2 + \cdots + 2 w_n v_n ) \\ & = & w_1 v_1 + w_2 v_2 + \cdots + w_n v_n \end{eqnarray}$

 

스칼라 곱의 성질

 

$R^n$상의 벡터 $u,\;v,\;w$와 스칼라 $k,\;m$에 대하여 다음이 성립한다.

 

1. $ u \cdot v = v \cdot u $

2. $ \vec{0} \cdot u = u \cdot \vec{0} = 0 $

3. $ u \cdot (v+ w ) = u \cdot v + u \cdot w$

4. $ (u+v) \cdot w = u \cdot w + v \cdot w $

5. $ k ( u \cdot v)  = (ku) \cdot v = u \cdot (kv) $