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여인수(Cofactor : $A_{ij}$), 여인수행렬(Cofactor matrix : $[A_{ij}]$), 수반행렬(Adjoint of matrix) 여인수(Cofactor), 여인수행렬(Cofactor matrix) $n$차 정방행렬 $ A = [a_{ij}]$에서 원소 $a_{ij}$에 계수(여인수)와 그 계수의 행렬(여인수 행렬) $$A_{ij} = (-1)^{i+j}\mathrm{det}(M_{ij}) $$ 수반행렬(Adjoint of matrix) 여인수행렬의 전치행렬이다. $ [A_{ij}]^{T} = \mathrm{adj}\;A$ 역행렬(Inverse matrix) 가역행렬(Invertible matrix) $n$차 정방 행렬 $A$와 단위 행렬 $I_{n}$에 대하여 $$AB = I_..

정의 체 $F$ 벡터공간 $V, W$사이의 함수 $L : V \rightarrow W $ 대하여, 다음 두 조건을 만족하는 사상 가산성 $1) L(u+v) = L(u)+L(v) (u,v \in V)$ 동차성 $2) L(kv) = kL(v) (k \in F, v \in V)$ 용어 정리 핵 : ker$L = L^{-1} (\vec{0}) = \{v \in V \vert L(v) = \vec{0}\}$ 상 : im$L = L(V) = L(V) = \{ L(v) \in W \vert v \in V \}$ 단사사상 : $L(u) = L(v) \Rightarrow u=v$ 인 $L$ 전사사상 : $L(V) = W$ 인 $L$ 동형사상 : 단사사상인 전사사상 자기사상 : $V = W $ 인 $ L$ 항등사상 : $..

노름 공간(Normed space) $(\mathbb{K} \in {\mathbb{R,C}})$에서 성립함. $\mathbb{K}$ - 벡터공간 $(V, \Vert \cdot \Vert) \, \forall u,v \in V, \forall k \in K$에 대해 세 조건을 만족시키는 함수 $\Vert \cdot \Vert : V \rightarrow [0, \infty)$이다. $1) \Vert kv \Vert = \vert k \vert \Vert V \Vert $ $2) \Vert u+v \Vert \leq \Vert u \Vert + \Vert v \Vert $ $3) \Vert v \Vert = 0 \Leftrightarrow v = \vec{0}$ 내적 공간(Inner product space..

기저(Basis) 벡터 공간을 선형생성하는 선형독립인 벡터들이다. 정규기저(normal basis) : 다음 조건을 만족하는 노름 공간 $V$의 기저 $B$를 정규기저라 한다. $$ \forall b \in B, \Vert b \Vert = 1$$ 직교기저(orthogonal basis) : 다음 조건을 만족하는 노름 공간 $V$의 기저 $B$를 직교기저라 한다. $$ \forall b, b' \in B ,

벡터공간 체 $F$에 대한 가군 $(V,+,\cdot)$을 벡터공간이라한다. $+:V \times V \rightarrow V$인 함수. 이 연산을 벡터 덧셈이라고 한다. $\cdot: F \times V \rightarrow V$인 함수. 이 연산을 벡터의 스칼라 배라고 한다. 위의 식들은 다음과 같은 공리를 만족시켜야한다. $1. (V,+)$는 아벨군이다. $(u,v,w \in V)$ $1)(u+v)+w = u+(v+w)$ $2)u+v = v+u$ $3)u + \vec{0} = u$인 $\vec{0}$가 $V$에 존재한다. $4)u+(-u)=\vec{0}$인 $-u$가 $V$에 존재한다. $2. (V,+,\cdot)$는 $F$의 가군이다. $(k,m \in F)$ $1) k \cdot (m \cdot..

대수구조(Algebraic structure) 일련의 연산들이 주어진 집합 여러 대수구조 반군 : 집합과 그 위의 결합법칙을 따르는 하나의 이항 연산을 갖춘 대수구조 (결합법칙만 성립) 모노이드 : 항등원을 갖는 반군 (결합법칙, 항등원 성립) $ \begin{eqnarray} \mathrm{ex)} & &( \mathbb{R},*) \;\;\; x*y = 0 \\ & & (1*2)*3 = 0*3 = 0 \\ & & 1* (2*3) = 1*0 = 0 \\ & & 1* \square \neq 1 \end{eqnarray}$ 위의 대수구조는 결합법칙이 성립하므로 반군이다. 하지만 항등원이 존재하지 않으므로 모노이드는 아니다. 군 : 역원을 갖는 모노이드 (결합법칙, 항등원, 역원 성립) $ \begin{eq..

직선의 표현 $R^2$ 또는 $R^3$ 에서 위치벡터가 $a$인 점 $A$를 지나며 방향벡터가 $v$인 직선 상의 임의의 점 $X$ 의 위치벡터 $x$는 $$ x = a + kv $$ 을 만족한다. (단, $k$는 임의의 실수) 위치벡터 : 원점을 시점으로 하는 벡터 방향벡터 : 직선이 늘어나는 방향을 가리키는 벡터 평면의 표현 $R^3$에서 위치벡터가 $a$인 점 $A$를 지나며 법선벡터가 $v$인 평면상의 임의의 점 $X$의 위치벡터 $x$는 $$(x-a)\cdot v = 0$$ 을 만족한다. 법선벡터 : 평면에 수직인 벡터 그림 1과 그림 2에서의 $O$는 원점이다.

벡터 곱(Vector product) 방향은 두 벡터에 동시에 수직이고, 크기는 두 벡터가 이루는 평행사변형의 면적인 $R^3$상의 벡터 3차원 공간에서 벡터간의 이항연산의 일종이다. 외적(outer product) 또는 가위곱(cross product)라고도 불린다. $$ v \times w = \left( \begin{vmatrix} v_2 & v_3 \\ w_2 & w_3 \end{vmatrix}, - \begin{vmatrix} v_1 & v_3 \\ w_1 & w_3 \end{vmatrix} , \begin{vmatrix} v_1 & v_2 \\ w_1 & w_2 \end{vmatrix} \right) $$ 벡터 곱의 성질 $R^3$상의 벡터 $u,\;v\;w$와 스칼라 $k$에 대하여 다음이 ..

스칼라 곱(Scalar product) 유클리드 공간에서 두 벡터로부터 스칼라 값을 얻는 연산이다. 내적(inner product) 또는 점곱(dot product)로도 부른다. $$ \begin{eqnarray} v \cdot w & = & \Vert v \Vert \Vert w \Vert \cos \theta \; \cdots \; (a) \\ & = & v_1 w_1 + v_2 w_2 + \cdots + v_n w_n \;\cdots\; (b)\end{eqnarray} $$ ($\theta$ 는 두 벡터 $ v,\, w$가 이루는 각) 식 $a$와 식 $b$가 같다는 것은 제 2코사인 법칙으로 증명 가능하다. 제 2 코사인 법칙으로 스칼라 곱 증명 $ w = v + x $ $ \therefore x..

평면 벡터 $R^{2}$(2차원)에서 크기와 방향의 의미를 수학적으로 표현한 개념 공간 벡터 $R^{3}$(3차원)에서 크기와 방향의 의미를 수학적으로 표현한 개념 n차원 벡터 $R^{n}$ 상의 벡터 $ v = (v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}) = \vec{AB} = (b_1 - a_1 , b_2 - a_2 ,\cdots, b_n - a_n)$ 영벡터(Spirit vector) : 모든 성분이 0인 벡터 $ \vec{0} = 0 = (0,0, \cdots ,0) $ 두 벡터의 모든 성분이 같으면 두 벡터가 같다고 할 수 있다. $ v = (v_1, \cdots , v_n),\, w=(w_1, \cdots, w_n) $ 일 때, $ v_1 = w_1 , \cdots , v_n = w_..