[선형대수학] 벡터, 노름(norm) 과 선형결합

평면 벡터

 

$R^{2}$(2차원)에서 크기와 방향의 의미를 수학적으로 표현한 개념

 

공간 벡터

 

$R^{3}$(3차원)에서 크기와 방향의 의미를 수학적으로 표현한 개념

n차원 벡터

$R^{n}$ 상의 벡터 $ v = (v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n})  = \vec{AB} = (b_1 - a_1 , b_2 - a_2 ,\cdots, b_n - a_n)$

 

영벡터(Spirit vector) : 모든 성분이 0인 벡터  $ \vec{0} = 0 = (0,0, \cdots ,0) $

 

두 벡터의 모든 성분이 같으면 두 벡터가 같다고 할 수 있다.

$ v = (v_1, \cdots , v_n),\, w=(w_1, \cdots, w_n) $ 일 때, $ v_1 = w_1 , \cdots , v_n = w_n $ 이다.

 

노름(Norm)

벡터의 크기(또는 길이)

$ \Vert v \Vert\ = \sqrt{v^2_1 + v^2_2 + \cdots + v^2_1 } $

 

단위벡터(Unit vector) : 노름(norm)이 1인 벡터

정규화(Normalization) : $ \frac{v}{\Vert v \Vert} $

표준단위벡터(Standard unit vector) : 좌표축 방향의 단위벡터  $ e_{1} = (1,0,\cdots,0), \; e_{2} = (0,1, \cdots, 0)$

 

선형결합(Linear Combination)

 

1. 덧셈과 뺄셈

$v \pm w= (v_{1} \pm w_{1} , \cdots , v_{n} \pm w_{n})$

 

2. 벡터의 실수배

$kv = (kv_{1}, kv_{2}, \cdots, kv_{n}) $ 

 

3. 선형(일차)결합

$R^{n}$의 벡터 $v_1, v_2, \cdots, v_n$와 임의의 실수(혹은 가중치) $c_{1}, c_{2} ,\cdots , c_{n} $에 대하여 

 

$$ c_1 v_1 + c_2 v_2 +\cdots + c_n v_n$$

 

는 $v_1, v_2, \cdots , v_n$의 선형 결합이라 한다.

 

벡터의 연산 성질

 

$R^n$상의 벡터 $u,\;v,\;w$와 스칼라 $k,\;m$에 대하여 다음이 성립한다.

 

1. $ u + v = v+ u$

2. $ (u+v) + w = v+ (u+w)$

3. $ u + \vec{0} = \vec{0} + u = u $

4. $ u + (-u) = \vec{0} $

5. $ k(u+v) = ku+ kv$

6. $ (k+m)u = ku+mu $

7. $k(mu) = (km)u $

8. $ 1u = u $

9. $ 0u = \vec{0},\; k\vec{0} = \vec{0} $