[선형대수학] 여인수 행렬, 수반행렬과 역행렬 - 크라메르 공식

여인수(Cofactor : $A_{ij}$), 여인수행렬(Cofactor matrix : $[A_{ij}]$), 수반행렬(Adjoint of matrix)

여인수(Cofactor), 여인수행렬(Cofactor matrix)

$n$차 정방행렬 $ A = [a_{ij}]$에서 원소 $a_{ij}$에 계수(여인수)와 그 계수의 행렬(여인수 행렬)

$$A_{ij} = (-1)^{i+j}\mathrm{det}(M_{ij}) $$

수반행렬(Adjoint of matrix)

여인수행렬의 전치행렬이다. $ [A_{ij}]^{T} = \mathrm{adj}\;A$

역행렬(Inverse matrix)

가역행렬(Invertible matrix)

$n$차 정방 행렬 $A$와 단위 행렬 $I_{n}$에 대하여

$$AB = I_{n} = BA$$

를 만족하는 $n$차 정방행렬 $B$가 존재할 때 $A$를 가역행렬이라고 한다.

행렬식이 0이 아닌 행렬, 역행렬이 존재하는 행렬.

특이행렬(Singular matrix)

행렬식이 0인 행렬, 역행렬이 존재하지 않는 행렬.

역행렬 구하기

$$A^{-1} = \frac{1}{\mathrm{det} \; A} \mathrm{adj}\; A$$

크라메르 공식(Carmer's rule)

연립일차방정식 $AX = B $ 에서, $A$가 가역행렬일 때,

$$ x_{j} = \frac{\mathrm{det} A_{j}}{\mathrm{det} A} $$

단, $j = 1, \cdots,n$이고 $A_{j}$는 $A$의 $j$번째 열을 $B$의 원소로 바꾼 행렬이다. (하나의 미지수만 알고 싶을 때, 사용하면 좋다.)