[선형대수학] 벡터공간 - 선형 생성(span), 선형 독립

벡터공간

 

체 $F$에 대한 가군 $(V,+,\cdot)$을 벡터공간이라한다.

 

$+:V \times V \rightarrow V$인 함수. 이 연산을 벡터 덧셈이라고 한다.

$\cdot: F \times V \rightarrow V$인 함수. 이 연산을 벡터의 스칼라 배라고 한다.

 

위의 식들은 다음과 같은 공리를 만족시켜야한다.

$1. (V,+)$는 아벨군이다. $(u,v,w \in V)$

   $1)(u+v)+w = u+(v+w)$ 

   $2)u+v = v+u$

   $3)u + \vec{0} = u$인 $\vec{0}$가 $V$에 존재한다.

   $4)u+(-u)=\vec{0}$인 $-u$가 $V$에 존재한다.

$2. (V,+,\cdot)$는 $F$의 가군이다. $(k,m \in F)$

   $1) k \cdot (m \cdot u) = (km) \cdot u$

   $2) F$의 곱셈 항등원 1에 대해 $1\cdot u =u $

   $3) (k+m) \cdot (u+v) = k \cdot u + m \cdot u + k \cdot v + m \cdot v$

 

선형 생성(span)

 

부분벡터공간 : 벡터공간 $V$의 부분집합 $W$를 $V$의 부분벡터공간 또는 부분공간이라 부른다.

 

벡터공간 $V$의 공집합이 아닌 부분집합 $S = {v_1, v_2, \cdots, v_n}$ 내의 벡터들의 가능한 모든 선형결합으로 이루어진, $V$의 부분벡터공간을 $S$의 선형생성 $span(S)$이라 한다.

 

선형독립(linear independent)

 

벡터공간 $V$의 공집합이 아닌 부분집합 $S = {v_1, v_2, \cdots, v_n}$에 대하여 

$$ \begin{eqnarray} k_1v_1 +k_2v_2 + \cdots + k_nv_n = \vec{0} \\ \Rightarrow k_1 = k_2 = \cdots = k_n = 0 \end{eqnarray} $$ 

이면 S가 선형독립이라고 한다. 만약 $k_1 = k_2 = \cdots = k_n = 0$외의 다른 해가 존재하면 $S$가 선형종속이라고 한다.