[선형대수학] 여러 벡터공간

노름 공간(Normed space)

 

$(\mathbb{K} \in {\mathbb{R,C}})$에서 성립함.

$\mathbb{K}$ - 벡터공간 $(V, \Vert \cdot \Vert) \, \forall u,v \in V, \forall k \in K$에 대해 세 조건을 만족시키는 함수 $\Vert \cdot \Vert : V \rightarrow [0, \infty)$이다.

 

$1) \Vert kv \Vert = \vert k \vert \Vert V \Vert $

$2) \Vert u+v \Vert \leq \Vert u \Vert + \Vert v \Vert $

$3) \Vert v \Vert = 0 \Leftrightarrow v = \vec{0}$

 

내적 공간(Inner product space)

 

내적이 부여된 $K$- 벡터공간 $(V, <\cdot , \cdot>)$

내적이란 $\forall u,v,w \in V, \forall k \in K$에 대해 아래 네 조건을 만족시키는 함수 $< \cdot, \cdot>: V \times V \rightarrow K $이다. $(K \in { \mathbb{R} , \mathbb{C} } )$

 

$1) <u+v, w> = <u,w> + <v,w>$

$2) <ku,v> = k<v,u>$

$3)<u,v> = <\bar{v,u}>$

$4)  v \neq \vec{0} \Rightarrow <v,v> > 0$

 

유클리드 공간(Euclidean space)

 

음이 아닌 정수 $n = 0, 1,2 \cdots $에 대하여,

$n$차원 유클리드 공간 $ \mathbb{R} ^n$은 실수 집합 $ \mathbb{R}$의 $n$번 곱집합이다.

이를 $n$차원 실수 벡터공간으로 정의하기도 한다.

 

$$ <u,v> = \sum^n_{i=1} u_i v_i = u \cdot v $$

 

를 정의하면 점곱, 스칼라곱 이라고도 한다.