[선형대수학] 대수구조- 군, 환, 체

대수구조(Algebraic structure) 

 

일련의 연산들이 주어진 집합

 

여러 대수구조

 

반군 : 집합과 그 위의 결합법칙을 따르는 하나의 이항 연산을 갖춘 대수구조 (결합법칙만 성립)

모노이드 : 항등원을 갖는 반군 (결합법칙, 항등원 성립)

 

$ \begin{eqnarray} \mathrm{ex)} &  &( \mathbb{R},*) \;\;\; x*y = 0 \\  & & (1*2)*3 = 0*3 = 0 \\ & & 1* (2*3) = 1*0 = 0  \\ &  & 1* \square \neq 1 \end{eqnarray}$

위의 대수구조는 결합법칙이 성립하므로 반군이다.

하지만 항등원이 존재하지 않으므로 모노이드는 아니다.

 

군 : 역원을 갖는 모노이드 (결합법칙, 항등원, 역원 성립)

 

$ \begin{eqnarray} \mathrm{ex1)} & & (\mathbb{Z},+) \\  &  &Z+(-Z) = 0 \end{eqnarray} $ 

 

$\mathrm{ex1}$ 은 역원을 가지므로 군이다.

 

$\begin{eqnarray} \mathrm{ex2)} & & (\mathbb{Z},\times) \\  & & 3 \times \frac{1}{3} = 1 \end{eqnarray} $ 

 

$\mathrm{ex2}$ 는 정수범위에서는 역원을 가지지 않으므로 군이 아니다.

 

아벨군(가환군) : 교환 법칙이 성립하는 군 (결합법칙, 항등원, 역원, 교환법칙 성립)

 

환 : 덧셈에 대하여 아벨군이 성립하고, 곱셈에 대하여 모노이드가 성립하는 대수구조.

 

가군 : 아벨군의 구조와 환의 원소에 대한 곱셈이 주어지며, 이 두 구조가 분배 법칙을 통해 서로 호환되는 대수구조.

 

가환환 : 곱셈이 교환법칙을 만족하는 환.

 

나눗셈환 : 0이 아닌 모든 원소가 역원을 가지며, 원소의 개수가 둘 이상인 환.

 

체 : 가환환인 나눗셈환 (덧셈에 대하여 결합법칙, 교환법칙, 항등원, 역원 성립 곱셈에 대하여 0을 제외하고 결합법칙, 교환법칙, 항등원, 역원 성립) $ \mathrm{ex)} \mathbb{Q, R, C} $