[선형대수학] 선형사상 - 용어, 합성, 역사상

정의

 

체 $F$ 벡터공간 $V, W$사이의 함수 $L : V \rightarrow W $ 대하여, 다음 두 조건을 만족하는 사상

 

가산성  $1) L(u+v) = L(u)+L(v) (u,v \in V)$ 

동차성  $2) L(kv) = kL(v) (k \in F, v \in V)$

 

용어 정리

 

핵 : ker$L = L^{-1} (\vec{0}) = \{v \in V \vert L(v) = \vec{0}\}$

상 : im$L = L(V) = L(V) = \{ L(v) \in W \vert v \in V \}$

단사사상 : $L(u) = L(v) \Rightarrow u=v$ 인 $L$

전사사상 : $L(V) = W$ 인 $L$

동형사상 : 단사사상인 전사사상

자기사상 : $V = W $ 인 $  L$

항등사상 : $L(v) = v$ 인 $L(=I_v)$

자기동형사상 : 자기사상인 동형사상

 

사상의 합성 

두 선형사상 $L_1 : V \rightarrow U, L_2 : U \rightarrow W$의 합성은  $L_2 \cdot L_1 : V \rightarrow W$로 쓴다.

 

역사상

$L_2 \cdot L_1 = I_v$ 일 때, $L_2$를 $L_1$의 왼쪽 역사상, $L_1$를 $L_2$의 오른쪽 역사상이라 한다.

왼쪽 역사상이자 오른쪽 역사상을 양쪽 역사상 또는 역사상이라 한다.